Golomb Rulers

The shortest known (to me) rulers. All the rulers with 23 segments or less are known to be the best possible (or optimal) Golomb rulers.

The project at http://members.aol.com/golomb20 did an exhaustive search of the 19 segment (20 mark) ruler and has finished proving the optimality of the 20 segment (21 mark) ruler. This project is kinda winding down and maybe it will be taken up at distributed net, we'll see.

2004-11-23 Distributed net has indeed been doing a great job of verifying rulers and has recently finished checking the 24 mark (23 segment) ruler.

2014-02-24 Mike Reed at Distributed net reports the project is still working hard and announced the new result that OGR-27 (26 segment) is optimal and they have started to work on OGR-28 (27 segment). I assume I must have missed a few announcements on smaller rulers.

Hypothesis: if L(n) is the total length of a optimal ruler with n marks then L(n+1) >= L(n)+n. This would imply that the optimal 21 mark ruler length would be between 303 and 329 units long. The minimum of 303 is due to the L(20) = 283 -> L(21) >= L(20)+20 = 283+20 = 303. (the "->" is my shorthand for "implies") The Maximum of 329 is due to L(23) <= 372 (by example below) -> L(22) <= L(23)-22 = 350 -> L(21) <= 329. --- Unfortunatly the recently proven optimal 20 segment ruler is the first counter example to this hypothesis, thus it is false assuming no errors have been made in the exhastive search.

Some important referances (far from complete).

John P. Robinson & Arthur J. Burnstein in IEEE Transactions on Information theory, Jan. 1967.

Index of Combinatorial Objects, managed by Kris Coolsaet (Kris.Coolsaet@hogent.be) http://www.hogent.be/~kc. Most of the larger unmarked rulers were generated by me using techniques I learned from Kris's pages. Although most of them had been discovered before I found them. (It seems his pages are down at the moment. (1999-08-03))

Dan Zuras (zuras@bacchus.hpl.hp.com)

William T. Rankin See his web page at: http://www.ee.duke.edu/~wrankin/golomb/golomb.html

(JShearer) denotes James B. Shearer's entry in "IEEE Transactions on Information Theory" Vol 36, No 1, Jan 1990. See also his web pages at http://www.research.ibm.com/people/s/shearer/comcomp.html for a more formal treatment of the history and attributions on the subject. Note he credits me with discovery of some of the best known rulers above the 100 segment lengths. Shearer has hypothesized in unpublished email that the rulers below are in fact optimal as generated by the difference sets, the only exceptions were the small rulers.

Verone Sacha (varone@dma.epfl.ch) says his students found a 99 segment ruler with a total length of 24322. 1996-08-08. As of 1997-03 this figure is eclipsed. (It was actually eclipsed in the acedemic liturature some time ago but this file documents the limits of my knowledge more than an any objective history of golomb rulers. See the Shearer web pages above for that.)

M. D. Atkinson, N. Santoro and J. Urrutia, "Integer Sets with Distinct Sums and Differences and Carrier Frequency Assignments for Nonlinear Repeaters", IEEE Transactions on Communications, Com-34(1986), 614-617

Note that we use the number of segments rather than the number of marks as our primary id. The number of marks is just one greater. Also the rulers are enumerated as the list of segment lengths rather than the more common list of mark positions relative to one end of the ruler. I feel this makes reflections more obvious.

```Number of  Segs,  Length,
list of Segments

0 0

1 1
1

2 3
1 2

3 6
1 3 2

4 11
1 3 5 2

5 17
1 3 6 2 5

6 25
1 3 6 8 5 2

7 34
1 3 5 6 7 10 2

8 44
1 4 7 13 2 8 6 3

9 55
1 5 4 13 3 8 7 12 2

10 72
1 3 9 15 5 14 7 10 6 2

11 85
2 4 18 5 11 3 12 13 7 1 9

12 106
2 3 20 12 6 16 11 15 4 9 1 7

13 127
4 2 14 15 17 7 18 1 8 3 10 23 5

14 151
4 16 10 27 2 3 14 24 11 12 13 8 1 6

15 177
1 3 7 15 6 24 12 8 39 2 17 16 13 5 9

16 199
5 2 10 35 4 11 13 1 19 22 16 21 6 3 23 8

17 216
2 8 12 31 3 26 1 6 9 32 18 5 14 21 4 13 11

18 246
1 5 19 7 40 28 8 12 10 23 16 18 3 14 27 2 9 4

19 283
1 7 3 57 9 17 22 5 35 2 21 15 14 4 16 12 13 6 24

20 333
2 22 32 21 5 1 12 34 15 35 7 9 60 10 20 8 3 14 19 4

21 356
1 8 5 29 27 36 16 2 4 31 20 25 19 30 10 7 21 39 11 12 3

22 372
3 4 10 44 5 25 8 15 45 12 28 1 26 9 11 31 39 13 19 2 16 6

23 425
9 24 4 1 59 25 7 11 2 10 39 14 3 44 26 8 40 6 21 15 16 19 22

24 480
12 17 10 33 19 55 11 3 1 5 25 16 7 44 32 26 38 18 22 2 35 28 8 13

25 492
1 32 50 21 6 14 39 22 15 3 46 2 7 56 4 25 13 30 44 10 16 8 11 12 5

26 553
3 12 26 25 29 2 9 36 10 68 1 4 17 53 35 8 16 28 6 14 13 71 18 19 23 7

27 585
3 12 26 25 29 2 9 36 10 68 1 4 17 53 35 8 16 28 6 14 13 71 18 19 23 7
32

28 623
3 25 5 8 54 61 2 35 14 26 19 15 71 1 16 39 9 18 52 6 23 21 47 10 12 20
4 7

29 680
9 26 22 71 21 2 29 25 13 63 11 44 28 6 8 16 75 4 1 40 19 47 15 3 33 10
7 20 12

30 747
9 3 42 25 64 2 16 31 13 21 85 38 14 19 4 53 20 7 8 28 58 1 10 30 68 6
26 24 5 17

31 784
7 8 11 2 29 55 6 18 40 1 4 30 3 44 51 9 23 48 14 53 20 36 16 54 46 43
25 49 17 10 12

32 859
12 80 4 55 3 20 1 51 60 14 35 8 11 99 6 40 2 29 10 26 30 7 27 88 5 13
15 17 44 9 16 22

33 938
4 15 16 42 22 26 23 14 74 13 33 8 76 21 17 27 28 11 36 34 45 94 6 18 43
25 78 20 9 1 2 50 7

34 987
2 22 12 74 9 8 33 93 30 27 4 21 14 45 1 70 19 49 29 43 26 6 73 15 13
64 23 44 55 7 3 37 11 5

35 1005
5 11 37 3 7 55 44 23 64 13 15 73 6 26 43 29 49 19 70 1 45 14 21 4 27 30
93 33 8 9 74 12 22 2 18

36 1099
8 1 4 57 27 21 19 85 15 23 7 34 52 29 17 134 31 6 10 12 32 11 25 58 18
2 33 39 3 66 51 56 26 24 49 14

37 1146
5 51 40 112 4 15 16 42 22 26 23 14 74 13 33 8 76 21 17 27 28 11 36 34
45 94 6 18 43 25 78 20 9 1 2 50 7

38 1252
7 9 88 20 25 24 10 28 67 14 19 23 99 17 40 63 77 29 6 2 46 18 12 68 47
3 41 11 82 71 39 21 1 4 27 43 15 36

39 1282
9 6 64 18 34 16 59 39 57 28 4 74 13 58 49 37 8 17 10 46 44 95 47 22 11
3 40 23 38 92 20 1 30 103 2 5 19 29 12

40 1305
4 22 12 27 81 23 5 8 24 55 47 25 78 16 19 71 6 9 67 7 33 51 46 3 98 54
2 29 14 30 20 68 57 66 48 10 11 41 1 17

41 1397
2 87 12 35 27 4 79 37 19 5 43 33 73 44 14 22 23 82 50 1 63 7 25 28 65
77 9 11 10 8 84 6 40 112 17 52 3 13 26 15 34

42 1507
3 31 2 7 15 39 28 77 13 73 14 60 38 19 18 48 103 1 4 45 20 51 8 17 133
32 10 11 81 46 16 52 12 29 6 72 23 83 30 26 84 27

43 1596
58 14 61 57 3 21 105 25 7 2 29 56 115 1 36 18 28 19 23 20 30 67 10 16
53 104 8 41 100 6 74 4 11 33 66 68 45 51 13 22 5 12 59

44 1687
3 63 13 24 34 38 32 23 130 33 11 4 73 117 45 8 6 43 67 22 122 35 27 25
39 51 18 50 10 20 1 74 61 46 40 112 2 17 9 56 29 7 5 42

45 1703
1 64 15 57 28 6 5 24 47 108 60 90 19 22 14 12 77 4 45 69 9 50 97 42 33
20 17 51 66 7 25 62 116 3 27 16 40 18 84 38 61 31 13 8 2

46 1804
6 32 5 44 114 56 34 8 15 95 12 4 124 25 77 17 54 14 36 67 22 52 41 64
24 92 31 20 7 26 2 11 120 63 45 61 21 9 10 59 1 72 3 62 18 29

47 1887
5 2 27 4 73 12 10 145 20 58 42 30 26 113 1 18 62 112 9 153 11 35 6 8 45
43 47 54 28 37 32 39 44 48 15 40 21 3 157 25 50 16 51 17 57 13 23

48 1958
2 68 8 55 40 22 83 79 12 85 7 35 11 14 4 30 84 107 23 27 31 151 10 9 32
24 72 16 36 57 49 73 37 1 5 39 90 77 98 15 13 61 26 21 33 66 3 17

49 2094
31 17 19 54 139 5 20 99 38 1 70 8 16 34 3 4 11 134 62 44 60 14 12 153
56 10 30 63 9 13 69 6 23 84 43 21 28 77 46 55 100 42 45 2 33 81 27 32
51

50 2190
1 7 18 13 110 74 24 108 29 35 20 46 21 2 40 37 59 6 111 139 36 14 68 17
5 70 58 49 27 45 33 15 143 9 3 16 162 62 53 30 11 32 54 71 60 52 4 47
10 34

51 2270
34 10 47 4 52 60 71 54 32 11 30 53 62 162 16 3 9 143 15 33 45 27 49 58
70 5 17 68 14 36 139 111 6 59 37 40 2 21 46 20 35 29 108 24 74 110 13
18 7 1 80

52 2347
1 8 21 77 104 37 25 24 33 42 14 66 76 44 15 13 55 53 70 31 131 20 2 5
36 11 40 18 60 79 38 109 65 46 4 146 17 71 81 16 3 45 85 10 134 39 34
91 12 23 61 6

53 2373
1 8 21 77 104 37 25 24 33 42 14 66 76 44 15 13 55 53 70 31 131 20 2 5
36 11 40 18 60 79 38 109 65 46 4 146 17 71 81 16 3 45 85 10 134 39 34
91 12 23 61 6 26

54 2598
2 3 13 12 37 100 32 93 34 7 50 88 73 107 11 33 54 22 68 117 95 58 64 38
8 155 75 9 1 51 53 19 24 35 4 17 94 60 48 31 97 45 36 164 6 71 42 27 74
15 14 26 66 20

55 2725
12 14 74 115 5 10 1 61 25 135 64 85 6 23 8 39 36 175 103 4 44 104 19 9
156 42 50 3 68 22 119 27 13 20 34 99 17 46 38 41 2 30 66 172 55 118 18
51 57 21 35 24 58 7 45

56 2773
1 6 39 30 41 9 43 84 64 25 3 23 124 35 224 103 2 8 19 38 20 24 139 40
59 98 60 47 15 73 61 17 5 31 153 48 33 21 42 37 12 118 13 55 86 11 95
34 32 72 56 14 4 90 121 16

57 2851
3 55 11 56 21 27 32 1 97 102 49 2 217 50 45 23 41 53 74 36 4 184 9 92
31 8 85 57 29 43 166 20 6 28 42 37 47 15 46 152 30 14 75 16 139 10 7 5
13 65 38 73 112 52 19 63 24

58 2911
4 10 119 29 56 182 15 20 5 33 44 59 95 13 121 74 51 50 76 17 49 32 46
42 19 11 41 34 65 165 22 9 80 3 149 57 39 70 94 62 1 6 21 26 84 97 145
8 37 23 64 36 12 43 24 104 2 16

59 3019
13 55 145 79 22 20 1 26 4 143 7 132 126 18 53 34 10 89 36 67 88 8 86
23 2 140 90 41 54 29 46 17 65 9 84 14 127 106 6 52 12 50 16 118 33 28
11 38 100 60 102 57 19 5 32 3 45 108 15

60 3134
4 24 16 50 206 71 38 104 31 67 21 57 56 18 12 29 32 148 3 96 22 20 117
9 14 144 33 184 26 10 15 2 70 5 79 95 37 43 110 39 46 8 68 35 162 60 52
13 101 19 45 63 100 6 1 48 34 47 58 11

61 3215
12 141 73 26 41 45 56 92 89 13 122 34 105 27 76 1 87 28 133 138 9 48 4
93 20 196 6 64 54 31 49 29 94 82 2 66 32 30 95 106 14 23 46 75 15 24 72
35 44 108 19 40 51 119 7 3 8 25 17 5 16

62 3391
10 8 148 27 21 14 80 38 26 198 57 20 16 97 134 65 54 1 41 28 160 3 50
23 52 11 174 211 5 4 74 24 7 40 19 13 99 95 67 60 116 25 43 87 108 2 37
12 33 56 81 30 58 34 117 6 85 15 29 17 104 22

63 3527
8 36 166 21 16 71 1 191 14 102 25 42 13 19 142 2 9 120 158 78 17 28
119 24 46 15 50 3 81 26 5 33 284 4 18 83 54 96 7 51 40 86 60 79 39 82
12 23 34 56 211 27 48 29 20 43 30 59 41 6 162 52 10

64 3593
8 36 166 21 16 71 1 191 14 102 25 42 13 19 142 2 9 120 158 78 17 28
119 24 46 15 50 3 81 26 5 33 284 4 18 83 54 96 7 51 40 86 60 79 39 82
12 23 34 56 211 27 48 29 20 43 30 59 41 6 162 52 10 66

65 3757
17 8 19 91 45 43 53 69 46 35 14 65 104 66 34 23 162 5 6 4 16 47 30 24
221 90 92 33 22 29 32 28 42 56 68 120 9 139 13 86 134 38 3 181 21 107
12 52 7 130 142 1 105 40 212 2 48 37 72 82 74 39 36 58 18

66 3819
17 8 19 91 45 43 53 69 46 35 14 65 104 66 34 23 162 5 6 4 16 47 30 24
221 90 92 33 22 29 32 28 42 56 68 120 9 139 13 86 134 38 3 181 21 107
12 52 7 130 142 1 105 40 212 2 48 37 72 82 74 39 36 58 18 62

67 3956
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147 20037
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148 20265
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569 11 977 94 532 68 24 1 26 152 85 196 88 161 790 124 131 189 96 122 16
79 252 126 14 106 139 83 200 32 290 60 446 10 772 163 117 104 9 359 372
329 215 130 21 7 107 78 76 247 1485 338 2 316 90 596 20 254 70 571 4 43
141 115 97 583 144 15 205 132 270 36 91 100 214 206 56 231 194 5 37 297
253 40 563 49 87 61 1051 13 46 109 12 137 44 311 63 510 41 216 363 171 72
29 240 186 39 84 202 128 177 30 421 62 48 351 411 31 156 17 153 242 190
111 112 291 198 164 102 279 509 208 376 52 319 58 296 108 142 238 3 66 370
64 294 201 226 50 133

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